内積からなす角を求める（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 内積からなす角を求める（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
3 点 $\mathrm{A}(2,\,1)$，$\mathrm{B}(5,\,2)$，$\mathrm{C}(3,\,4)$ について，次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\cos\angle\mathrm{BAC}$ の値を求めよ．
\item[(2)] $\triangle\mathrm{ABC}$ の面積を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(3,\,1)$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(1,\,3)$ であるから
\[ \cos\angle\mathrm{BAC}=\frac{3+3}{\sqrt{10}\sqrt{10}}=\frac{3}{5} \]
(2) $0^\circ<\angle\mathrm{BAC}<180^\circ$ より $\sin\angle\mathrm{BAC}>0$ であるから $\sin\angle\mathrm{BAC}=\sqrt{1-\dfrac{9}{25}}=\dfrac{4}{5}$．よって $\triangle\mathrm{ABC}=\dfrac{1}{2}\mathrm{AB}\cdot\mathrm{AC}\sin\angle\mathrm{BAC}=\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}\cdot\dfrac{4}{5}=4$
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