図形の中の内積を定義から計算する（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 図形の中の内積を定義から計算する（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AD}=2$，$\angle\mathrm{BAD}=60^\circ$ の平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ において，次の内積を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AD}}$
\item[(2)] $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CB}}$
\item[(3)] $\overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{DC}}$
\item[(4)] $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CD}}$
\end{enumerate}
(1) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AD}}=3\cdot 2\cos 60^\circ=3$
(2) $\overrightarrow{\mathrm{CB}}=-\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ であるから $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CB}}=-\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AD}}=-3$
(3) $\overrightarrow{\mathrm{DC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ であるから $\overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{DC}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=3$
(4) $\overrightarrow{\mathrm{CD}}=-\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ であり，なす角は $180^\circ$ であるから
\[ \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CD}}=-|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2=-9 \]
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