水の量の変化の割合と定積分（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 水の量の変化の割合と定積分（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
空の水槽に，時刻 $t$ 分における毎分 $\dfrac{40}{(t+2)^2}$ リットルの割合で水を注ぐ．ただし，水を注ぎ始める時刻を $t=0$ とし，水槽から水があふれることはないものとする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $t=0$ から $t=8$ までに注がれる水の量を求めよ．
\item[(2)] $t=0$ から $t=T$ までに注がれる水の量を $W(T)$ とするとき，$\displaystyle\lim_{T\to\infty}W(T)$ を求めよ．
\end{enumerate}
(1) 注がれる水の量は，注ぐ割合を時刻 $t$ で積分して求められる（下図の色をつけた部分の面積）．よって，求める水の量は
\[ \int_0^8\frac{40}{(t+2)^2}\,dt=\left[-\frac{40}{t+2}\right]_0^8=-\frac{40}{10}+\frac{40}{2}=16 \]
したがって，$t=0$ から $t=8$ までに注がれる水の量は $16$ リットル
(2) $T>0$ とすると
\[ W(T)=\int_0^T\frac{40}{(t+2)^2}\,dt=\left[-\frac{40}{t+2}\right]_0^T=20-\frac{40}{T+2} \]
$T\to\infty$ のとき $\dfrac{40}{T+2}\to 0$ であるから
\[ \lim_{T\to\infty}W(T)=20 \]
したがって，求める極限値は $20$（リットル）
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