水の量の変化の割合と定積分（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 水の量の変化の割合と定積分（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
水槽の排水口から，時刻 $t$ 分における毎分 $10e^{-\frac{t}{5}}$ リットルの割合で水が流れ出ている．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $t=0$ から $t=5$ までに流れ出る水の量を求めよ．
\item[(2)] $t=0$ から $t=T$ までに流れ出る水の量を $W(T)$ とするとき，$\displaystyle\lim_{T\to\infty}W(T)$ を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $\displaystyle\int_0^510e^{-\frac{t}{5}}\,dt=\Bigl[-50e^{-\frac{t}{5}}\Bigr]_0^5=50\left(1-\frac{1}{e}\right)$（リットル）
(2) $W(T)=\displaystyle\int_0^T10e^{-\frac{t}{5}}\,dt=50\left(1-e^{-\frac{T}{5}}\right)$ で，$T\to\infty$ のとき $e^{-\frac{T}{5}}\to 0$ であるから $\displaystyle\lim_{T\to\infty}W(T)=50$（リットル）
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