平面上の運動の道のり（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 平面上の運動の道のり（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
座標平面上を運動する点 P の時刻 $t$ における座標が $(t^2,\,t^3)$ で表されている．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 時刻 $t$ における P の速さを求めよ．
\item[(2)] $t=0$ から $t=1$ までに P が動く道のりを求めよ．
\end{enumerate}
(1) $\vec{v}=(2t,\,3t^2)$ であるから $|\vec{v}|=\sqrt{4t^2+9t^4}=|t|\sqrt{4+9t^2}$
(2) $0\leqq t\leqq 1$ で $|t|=t$ であるから，$4+9t^2=u$ とおくと $18t\,dt=du$ で，$t=0$ のとき $u=4$，$t=1$ のとき $u=13$ であるから，求める道のりは
\[ \int_0^1t\sqrt{4+9t^2}\,dt=\frac{1}{18}\int_4^{13}\sqrt{u}\,du=\frac{1}{18}\cdot\frac{2}{3}\left(13\sqrt{13}-8\right)=\frac{13\sqrt{13}-8}{27} \]
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