平面上の運動の道のり（A）

$x=e^t\cos t$，$y=e^t\sin t$ とすると $\dfrac{dx}{dt}=e^t(\cos t-\sin t)$，$\dfrac{dy}{dt}=e^t(\sin t+\cos t)$ より \[ \left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2=e^{2t}\{(\cos t-\sin t)^2+(\sin t+\cos t)^2\}=2e^{2t} \] $e^t>0$ であるから，求める道のりは \[ \int_0^{2\pi}\sqrt{2}\,e^t\,dt=\sqrt{2}\left(e^{2\pi}-1\right) \]