速度から位置と道のりを求める（数直線）（A）

(1) 時刻 $t$ における P の座標を $x(t)$ とすると \[ x(\pi)=0+\int_0^{\pi}\left(\sin t-\frac{1}{2}\right)dt=\left[-\cos t-\frac{t}{2}\right]_0^{\pi}=\left(1-\frac{\pi}{2}\right)-(-1)=2-\frac{\pi}{2} \] よって，時刻 $t=\pi$ における P の座標は $2-\dfrac{\pi}{2}$ (2) $v(t)=0$ となるのは $t=\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5}{6}\pi$ で，$0<t<\dfrac{\pi}{6}$，$\dfrac{5}{6}\pi<t<\pi$ で $v<0$，$\dfrac{\pi}{6}<t<\dfrac{5}{6}\pi$ で $v>0$（下図）． \[ \int_0^{\frac{\pi}{6}}\left(\frac{1}{2}-\sin t\right)dt=\frac{\pi}{12}-\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right),\qquad \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5}{6}\pi}\left(\sin t-\frac{1}{2}\right)dt=\sqrt{3}-\frac{\pi}{3} \] また，$v(\pi-t)=\sin(\pi-t)-\dfrac{1}{2}=v(t)$ であるから，$\displaystyle\int_{\frac{5}{6}\pi}^{\pi}\left(\frac{1}{2}-\sin t\right)dt$ は $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{6}}\left(\frac{1}{2}-\sin t\right)dt$ に等しい． よって，求める道のりは \[ 2\left(\frac{\pi}{12}-1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}=2\sqrt{3}-2-\frac{\pi}{6} \]