積分の計算に工夫がいる曲線 y=f(x) の長さ（B）

$y'=x$ であるから，求める長さを $L$ とすると $L=\displaystyle\int_0^1\sqrt{1+x^2}\,dx$ である．これを $I$ とおくと，部分積分法により \[ I=\int_0^1\sqrt{1+x^2}\,dx=\Bigl[x\sqrt{1+x^2}\Bigr]_0^1-\int_0^1\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}\,dx=\sqrt{2}-\int_0^1\left(\sqrt{1+x^2}-\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right)dx \] \[ =\sqrt{2}-I+\Bigl[\log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\Bigr]_0^1=\sqrt{2}-I+\log(1+\sqrt{2}) \] よって $2I=\sqrt{2}+\log(1+\sqrt{2})$ したがって，求める長さは $L=I=\dfrac{\sqrt{2}+\log(1+\sqrt{2})}{2}$