積分の計算に工夫がいる曲線 y=f(x) の長さ（A）

$y'=\dfrac{\cos x}{\sin x}$ であるから \[ 1+(y')^2=1+\frac{\cos^2x}{\sin^2x}=\frac{1}{\sin^2x} \] $\dfrac{\pi}{3}\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}$ で $\sin x>0$ であるから \[ L=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{\sin x} \] ここで $\dfrac{1}{\sin x}=\dfrac{\sin x}{\sin^2x}=\dfrac{\sin x}{1-\cos^2x}$ $\cos x=u$ とおくと $-\sin x\,dx=du$ $x=\dfrac{\pi}{3}$ のとき $u=\dfrac{1}{2}$，$x=\dfrac{\pi}{2}$ のとき $u=0$ であるから \[ L=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x}{1-\cos^2x}\,dx=\int_{\frac{1}{2}}^{0}\frac{-du}{1-u^2}=\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{du}{1-u^2} \] $\dfrac{1}{1-u^2}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1+u}+\dfrac{1}{1-u}\right)$ で，$0\leqq u\leqq\dfrac{1}{2}$ では $1+u>0$，$1-u>0$ であるから \[ L=\frac{1}{2}\Bigl[\log(1+u)-\log(1-u)\Bigr]_0^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\left(\log\frac{3}{2}-\log\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\log 3 \]