媒介変数表示の曲線と y=f(x) の曲線の長さ（B）

(1) $\dfrac{dx}{dt}=-3\cos^2t\sin t$，$\dfrac{dy}{dt}=3\sin^2t\cos t$ より \[ \left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2=9\sin^2t\cos^2t(\cos^2t+\sin^2t)=9\sin^2t\cos^2t \] $t$ を $-t$ におき換えると点 $(x,\,y)$ は点 $(x,\,-y)$ に，$t$ を $\pi-t$ におき換えると点 $(-x,\,y)$ に移るから，曲線は $x$ 軸，$y$ 軸に関して対称である．よって，求める長さ $L$ は $0\leqq t\leqq\dfrac{\pi}{2}$ の部分の長さの 4 倍である． $0\leqq t\leqq\dfrac{\pi}{2}$ で $\sin t\cos t\geqq 0$ であるから，$\sqrt{9\sin^2t\cos^2t}=3\sin t\cos t$ となり \[ L=4\int_0^{\frac{\pi}{2}}3\sin t\cos t\,dt=12\left[\frac{\sin^2t}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=6 \] (2) $y'=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$ より $1+(y')^2=\dfrac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}=\left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2$ $\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}>0$ であるから \[ L=\int_0^1\frac{e^x+e^{-x}}{2}\,dx=\left[\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right]_0^1=\frac{1}{2}\left(e-\frac{1}{e}\right) \]