媒介変数表示の曲線と y=f(x) の曲線の長さ（A）

(1) $\dfrac{dx}{dt}=1-\cos t$，$\dfrac{dy}{dt}=\sin t$ より \[ \left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2=2-2\cos t=4\sin^2\frac{t}{2} \] $0\leqq t\leqq 2\pi$ で $\sin\dfrac{t}{2}\geqq 0$ であるから \[ L=\int_0^{2\pi}2\sin\frac{t}{2}\,dt=\left[-4\cos\frac{t}{2}\right]_0^{2\pi}=8 \] (2) $y'=\sqrt{x}$ であるから \[ L=\int_0^3\sqrt{1+(y')^2}\,dx=\int_0^3\sqrt{1+x}\,dx=\left[\frac{2}{3}(1+x)^{\frac{3}{2}}\right]_0^3=\frac{2}{3}(8-1)=\frac{14}{3} \]