円板を動かしたときの通過範囲の体積（B）

$D$ 上の点 $(x,\,y,\,0)$ は，角 $\varphi$ だけ回転すると $(x,\,y\cos\varphi,\,y\sin\varphi)\ \left(0\leqq\varphi\leqq\dfrac{\pi}{2}\right)$ に移る． $D$ が平面 $x=t$ と共有点をもつのは $-1\leqq t\leqq 1$ のときである．平面 $x=t\ (-1\leqq t\leqq 1)$ による切り口を考えると，$D$ の切り口は線分 \[ 2-\sqrt{1-t^2}\leqq y\leqq 2+\sqrt{1-t^2},\quad z=0 \] である．$0\leqq\sqrt{1-t^2}\leqq 1$ より $2-\sqrt{1-t^2}\geqq 1>0$ であるから，この線分上の点と点 $(t,\,0,\,0)$ との距離は $2-\sqrt{1-t^2}$ 以上 $2+\sqrt{1-t^2}$ 以下である． よって，この線分を点 $(t,\,0,\,0)$ のまわりに $90^\circ$ 回転させると，$y\geqq 0,\ z\geqq 0$ の部分にある，半径 $2+\sqrt{1-t^2}$ の四分円から半径 $2-\sqrt{1-t^2}$ の四分円を除いた部分が通過する部分となる（下図）．その面積は \[ S(t)=\frac{\pi}{4}\left\{\left(2+\sqrt{1-t^2}\right)^2-\left(2-\sqrt{1-t^2}\right)^2\right\}=\frac{\pi}{4}\cdot 8\sqrt{1-t^2}=2\pi\sqrt{1-t^2} \] よって，求める体積を $V$ とすると \[ V=\int_{-1}^12\pi\sqrt{1-t^2}\,dt=2\pi\int_{-1}^1\sqrt{1-t^2}\,dt \] ここで，$\displaystyle\int_{-1}^1\sqrt{1-t^2}\,dt$ は半径 1 の半円の面積に等しいから　$\displaystyle\int_{-1}^1\sqrt{1-t^2}\,dt=\frac{\pi}{2}$ したがって，求める体積は　$V=2\pi\cdot\dfrac{\pi}{2}=\pi^2$