円板を動かしたときの通過範囲の体積（A）

$D$ 上の点 $(x,\,y,\,0)$ は，角 $\varphi$ だけ回転すると $(x,\,y\cos\varphi,\,y\sin\varphi)\ \left(0\leqq\varphi\leqq\dfrac{\pi}{2}\right)$ に移る． 平面 $x=t\ (-1\leqq t\leqq 1)$ による切り口を考えると，$D$ の切り口は線分 $|y|\leqq\sqrt{1-t^2}$ で，これを点 $(t,\,0,\,0)$ のまわりに $90^\circ$ 回転させると，半径 $\sqrt{1-t^2}$ の四分円 2 つ（$y\geqq 0,\ z\geqq 0$ の部分と $y\leqq 0,\ z\leqq 0$ の部分）が通過する部分となる（下図）．その面積は \[ S(t)=2\cdot\frac{\pi}{4}(1-t^2)=\frac{\pi}{2}(1-t^2) \] よって \[ V=\int_{-1}^1\frac{\pi}{2}(1-t^2)\,dt=\pi\int_0^1(1-t^2)\,dt=\frac{2}{3}\pi \]