空間の三角形を回転した立体（B）

三角形 OAB 上の点は $s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(s,\,t,\,t)$（$s\geqq 0$，$t\geqq 0$，$s+t\leqq 1$）と表される． 平面 $z=t\ (0\leqq t\leqq 1)$ による切り口は，2 点 $(0,\,t,\,t)$，$(1-t,\,t,\,t)$ を結ぶ線分である．この線分上の点 $(s,\,t,\,t)$ と $z$ 軸との距離は $\sqrt{s^2+t^2}$ で，$s=0$ のとき最小値 $t$，$s=1-t$ のとき最大値 $\sqrt{(1-t)^2+t^2}$ をとる． よって，立体の切り口は円環で，その面積は \[ S(t)=\pi\{(1-t)^2+t^2\}-\pi t^2=\pi(1-t)^2 \] したがって \[ V=\int_0^1\pi(1-t)^2\,dt=\frac{\pi}{3} \]