空間の三角形を回転した立体（A）

平面 $z=t\ (0\leqq t\leqq 1)$ による三角形の切り口は，2 点 $(1-t,\,0,\,t)$，$(0,\,1-t,\,t)$ を結ぶ線分である． この線分上の点は $\mathrm{Q}((1-t)(1-k),\,(1-t)k,\,t)\ (0\leqq k\leqq 1)$ と表され，Q と $z$ 軸との距離の 2 乗は \[ (1-t)^2\{(1-k)^2+k^2\}=(1-t)^2\left\{2\left(k-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\right\} \] である．よって，この距離は両端（$k=0,\ 1$）で最大値 $1-t$，中点（$k=\dfrac{1}{2}$）で最小値 $\dfrac{1-t}{\sqrt{2}}$ をとる． よって，立体の切り口は外側の半径 $1-t$，内側の半径 $\dfrac{1-t}{\sqrt{2}}$ の円環で，その面積は \[ S(t)=\pi(1-t)^2-\pi\frac{(1-t)^2}{2}=\frac{\pi}{2}(1-t)^2 \] したがって \[ V=\int_0^1\frac{\pi}{2}(1-t)^2\,dt=\frac{\pi}{6} \]