空間の線分を軸まわりに回転した立体（B）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 空間の線分を軸まわりに回転した立体（A） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
座標空間内の 2 点 $\mathrm{A}(1,\,1,\,0)$，$\mathrm{B}(1,\,0,\,2)$ を結ぶ線分 AB を $z$ 軸のまわりに 1 回転してできる曲面と，2 平面 $z=0$，$z=2$ で囲まれた立体の体積を求めよ．
線分 AB 上の点は $\mathrm{P}(1,\,1-s,\,2s)\ (0\leqq s\leqq 1)$ と表される．$z=2s$ のときの切り口の円の半径の 2 乗は
\[ r^2=1+(1-s)^2 \]
$z=2s$ より $dz=2\,ds$ であるから
\[ V=\int_0^2\pi r^2\,dz=\int_0^1\pi\{1+(1-s)^2\}\cdot 2\,ds=2\pi\left(1+\frac{1}{3}\right)=\frac{8}{3}\pi \]
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