空間の線分を軸まわりに回転した立体（A）

線分 AB 上の点は $\mathrm{P}(1-t,\,t,\,t)\ (0\leqq t\leqq 1)$ と表される．平面 $z=t$ による立体の切り口は，P を $z$ 軸のまわりに回転してできる円の内部で，その半径の 2 乗は \[ r^2=(1-t)^2+t^2=2t^2-2t+1 \] よって \[ V=\int_0^1\pi(2t^2-2t+1)\,dt=\pi\left(\frac{2}{3}-1+1\right)=\frac{2}{3}\pi \] （曲面は中ほどがくびれた形になる．下図）