2つの立体の共通部分の体積（B）

平面 $z=t\ (-2\leqq t\leqq 2)$ による切り口は，円 $x^2+y^2\leqq 4-t^2$ と円 $x^2+y^2\leqq 1$ の共通部分で，半径の小さい方の円である． $|t|\leqq\sqrt{3}$ のとき $4-t^2\geqq 1$ で，切り口は半径 1 の円（面積 $\pi$） $\sqrt{3}\leqq|t|\leqq 2$ のとき，切り口は半径 $\sqrt{4-t^2}$ の円（面積 $\pi(4-t^2)$） よって，$z$ について対称であるから \[ V=2\left\{\pi\sqrt{3}+\pi\int_{\sqrt{3}}^2(4-t^2)\,dt\right\}=2\pi\left\{\sqrt{3}+\left[4t-\frac{t^3}{3}\right]_{\sqrt{3}}^2\right\} \] \[ =2\pi\left\{\sqrt{3}+\frac{16}{3}-3\sqrt{3}\right\}=\frac{32}{3}\pi-4\sqrt{3}\,\pi \]