2つの立体の共通部分の体積（A）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 2つの立体の共通部分の体積（B） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
座標空間において，2 つの円柱 $x^2+z^2\leqq 1$，$y^2+z^2\leqq 1$ の共通部分の体積を求めよ．
平面 $z=t\ (-1\leqq t\leqq 1)$ による切り口を考える．
$x^2\leqq 1-t^2$ かつ $y^2\leqq 1-t^2$ であるから，切り口は 1 辺 $2\sqrt{1-t^2}$ の正方形で，面積は $4(1-t^2)$（下図）．
\[ V=\int_{-1}^14(1-t^2)\,dt=8\int_0^1(1-t^2)\,dt=\frac{16}{3} \]
⭐ お気に入り 0
ログインするとお気に入り・印刷リスト・PDF出力が使えます