斜めの直線 y=x まわりの回転体（B）

曲線上の点 $\mathrm{P}(t,\,t^3)\ (0\leqq t\leqq 1)$ から直線 $y=x$ に下ろした垂線の足を H とし，$u=\mathrm{OH}$ とすると \[ \mathrm{PH}=\frac{t-t^3}{\sqrt{2}},\qquad u=\frac{t+t^3}{\sqrt{2}},\qquad du=\frac{1+3t^2}{\sqrt{2}}\,dt \] $\dfrac{1+3t^2}{\sqrt{2}}>0$ であるから，$t$ が $0$ から $1$ まで増加すると $u$ は $0$ から $\sqrt{2}$ まで増加する．回転体を H を通り直線 $y=x$ に垂直な平面で切った切り口は半径 PH の円であるから \[ V=\pi\int_0^{\sqrt{2}}\mathrm{PH}^2\,du=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\int_0^1(t-t^3)^2(1+3t^2)\,dt=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\int_0^1(t^2+t^4-5t^6+3t^8)\,dt \] \[ =\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{5}{7}+\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\cdot\frac{16}{105}=\frac{4\sqrt{2}}{105}\pi \]