斜めの直線 y=x まわりの回転体（A）

直線 $y=x$ 上に原点からの距離 $u$ をとる．曲線上の点 $\mathrm{P}(t,\,t^2)\ (0\leqq t\leqq 1)$ から直線 $y=x$ に下ろした垂線の足を H とすると \[ \mathrm{PH}=\frac{t-t^2}{\sqrt{2}},\qquad u=\mathrm{OH}=\frac{t+t^2}{\sqrt{2}} \] （OH は $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ と単位ベクトル $\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ の内積．）$du=\dfrac{1+2t}{\sqrt{2}}\,dt$ で，$0\leqq t\leqq 1$ において $\dfrac{1+2t}{\sqrt{2}}>0$ であるから，$t$ が $0$ から $1$ まで増加すると $u$ は $0$ から $\sqrt{2}$ まで増加する（下図）．回転体を H を通り直線 $y=x$ に垂直な平面で切った切り口は，半径 PH の円である． \[ V=\pi\int_0^{\sqrt{2}}\mathrm{PH}^2\,du=\pi\int_0^1\frac{(t-t^2)^2}{2}\cdot\frac{1+2t}{\sqrt{2}}\,dt=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\int_0^1(t^2-3t^4+2t^5)\,dt \] \[ =\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\left(\frac{1}{3}-\frac{3}{5}+\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{15}=\frac{\sqrt{2}}{60}\pi \]