媒介変数で表された曲線を x 軸のまわりに回転させる（B）

曲線は $x$ 軸に関して対称であるから，$y\geqq 0$ の部分を $x$ 軸のまわりに回転させればよい．また，$y$ 軸に関しても対称であるから，$x\geqq 0$，$y\geqq 0$ の部分の回転体の体積を 2 倍する．$0\leqq t\leqq\dfrac{\pi}{2}$ で $x$ は $1$ から $0$ まで減少し，$\dfrac{dx}{dt}=-3\cos^2t\sin t$ \[ V=2\pi\int_0^1y^2\,dx=2\pi\int_{\frac{\pi}{2}}^0\sin^6t(-3\cos^2t\sin t)\,dt=6\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^7t(1-\sin^2t)\,dt \] \[ =6\pi(I_7-I_9)=6\pi\left(\frac{144}{315}-\frac{128}{315}\right)=6\pi\cdot\frac{16}{315}=\frac{32}{105}\pi \]