接線と曲線で囲まれた図形の回転体（B）

$y^{\prime}=e^x$ であるから，接点を $(t,\,e^t)$ とすると，接線の方程式は $y-e^t=e^t(x-t)$ すなわち $y=e^t(x-t+1)$ である．これが原点を通るから $e^t(1-t)=0$ より $t=1$．よって $\ell:y=ex$，接点は $(1,\,e)$ $y=e^x$ のグラフは下に凸であるから，接線 $\ell$ はグラフの下側にあり，$0\leqq x\leqq 1$ で $e^x\geqq ex\geqq 0$ である．よって \[ V=\pi\int_0^1(e^{2x}-e^2x^2)\,dx=\pi\left[\frac{e^{2x}}{2}-\frac{e^2x^3}{3}\right]_0^1=\pi\left(\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{3}-\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi(e^2-3)}{6} \]