接線と曲線で囲まれた図形の回転体（A）

$y^{\prime}=\dfrac{1}{x}$ であるから，接点を $(t,\,\log t)$ とすると，接線の方程式は $y-\log t=\dfrac{1}{t}(x-t)$ すなわち $y=\dfrac{x}{t}+\log t-1$ である．これが原点を通るから $\log t-1=0$ より $t=e$．よって $\ell:y=\dfrac{x}{e}$，接点は $(e,\,1)$ $y=\log x$ のグラフは上に凸であるから，接線 $\ell$ はグラフの上側にあり，$1\leqq x\leqq e$ で $0\leqq\log x\leqq\dfrac{x}{e}$ である．よって，求める体積は，$\ell$ による回転体（底面の半径 $1$，高さ $e$ の円錐）から，曲線 $y=\log x\ (1\leqq x\leqq e)$ による回転体を除いたものである（下図）． 部分積分法により，$C$ を積分定数として \[ \int(\log x)^2\,dx=x(\log x)^2-2\int\log x\,dx=x(\log x)^2-2x\log x+2x+C \] であるから \[ \pi\int_1^e(\log x)^2\,dx=\pi\Bigl[x(\log x)^2-2x\log x+2x\Bigr]_1^e=\pi(e-2) \] よって \[ V=\frac{1}{3}\pi\cdot 1^2\cdot e-\pi(e-2)=\pi\left(2-\frac{2}{3}e\right) \]