y軸まわりの回転体（おき換え・場合分けで切り口を調べる）（B）

回転体を $y$ 軸に垂直な平面で切った切り口を考える． $0\leqq y\leqq\dfrac{1}{e}$ では，切り口は半径 $1$ の円である． $\dfrac{1}{e}\leqq y\leqq 1$ では，$y=e^{-x^2}$ より $x^2=-\log y$ で，切り口は半径 $\sqrt{-\log y}$ の円である． よって \[ V=\pi\cdot 1^2\cdot\frac{1}{e}+\pi\int_{\frac{1}{e}}^1(-\log y)\,dy=\frac{\pi}{e}+\pi\Bigl[-y\log y+y\Bigr]_{\frac{1}{e}}^1=\frac{\pi}{e}+\pi\left(1-\frac{2}{e}\right)=\pi\left(1-\frac{1}{e}\right) \]