y軸まわりの回転体（おき換え・場合分けで切り口を調べる）（A）

$0\leqq y\leqq 1$ に対して，$\sin x=y$ を満たす $x$ を $x_1\left(0\leqq x_1\leqq\dfrac{\pi}{2}\right)$，$x_2\left(\dfrac{\pi}{2}\leqq x_2\leqq\pi\right)$ とする．立体を $y$ 軸に垂直な平面で切った切り口は，外側の半径 $x_2$，内側の半径 $x_1$ の円環であるから \[ V=\pi\int_0^1x_2^{\,2}\,dy-\pi\int_0^1x_1^{\,2}\,dy \] $y=\sin x$ とおき換えると $dy=\cos x\,dx$．第 1 項は $x:\pi\to\dfrac{\pi}{2}$，第 2 項は $x:0\to\dfrac{\pi}{2}$ に対応するから \[ V=\pi\int_{\pi}^{\frac{\pi}{2}}x^2\cos x\,dx-\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\cos x\,dx=-\pi\int_0^{\pi}x^2\cos x\,dx \] $\displaystyle\int x^2\cos x\,dx=x^2\sin x+2x\cos x-2\sin x$ であるから \[ \int_0^{\pi}x^2\cos x\,dx=-2\pi\quad\text{よって}\quad V=2\pi^2 \] 参考：区間 $[x,\,x+\Delta x]$ の部分を $y$ 軸のまわりに回転してできる薄い筒の体積はおよそ $2\pi x\sin x\,\Delta x$ であることから，$V=2\pi\displaystyle\int_0^{\pi}x\sin x\,dx$（バームクーヘン型の求め方）としても求められる．この式を答案で用いるときは，導き方を示す必要がある．