y軸まわりの回転体（y で積分）（B）

$y=e^x$ より $x=\log y\ (1\leqq y\leqq e)$．求める体積は \[ V=\pi\int_1^e(\log y)^2\,dy \] 部分積分法により，$C$ を積分定数として \[ \begin{aligned} \int(\log y)^2\,dy&=y(\log y)^2-\int y\cdot\frac{2\log y}{y}\,dy=y(\log y)^2-2\int\log y\,dy\\ &=y(\log y)^2-2(y\log y-y)+C=y(\log y)^2-2y\log y+2y+C \end{aligned} \] であるから \[ V=\pi\Bigl[y(\log y)^2-2y\log y+2y\Bigr]_1^e=\pi\{(e-2e+2e)-2\}=\pi(e-2) \]