傾けた半球の容器からこぼれる水の量（B）

容器の縁を含む平面は球の中心 O を通る．$45^\circ$ 傾けると，縁の最も低い点の深さは O から $6\sin 45^\circ=3\sqrt{2}$ である． O を原点とし鉛直下向きに $x$ 軸をとると，残った水は $3\sqrt{2}\leqq x\leqq 6$ の部分で，深さ $x$ における水面と平行な切り口は半径 $\sqrt{36-x^2}$ の円である．よって，残った水の体積は \[ \pi\int_{3\sqrt{2}}^6(36-x^2)\,dx=\pi\left[36x-\frac{x^3}{3}\right]_{3\sqrt{2}}^6=\pi\{(216-72)-(108\sqrt{2}-18\sqrt{2})\}=\pi(144-90\sqrt{2}) \] はじめの水の量は $\dfrac{2}{3}\pi\cdot 6^3=144\pi$ であるから，流れ出た水の量は \[ 144\pi-\pi(144-90\sqrt{2})=90\sqrt{2}\,\pi\ (\mathrm{cm^3}) \]