傾けた半球の容器からこぼれる水の量（A）

容器の縁を含む平面は球の中心 O を通る．$30^\circ$ 傾けると，縁の最も低い点の深さは O から $a\sin 30^\circ=\dfrac{a}{2}$ である（下図）． O を原点とし，鉛直下向きに $x$ 軸をとると，残った水は $\dfrac{a}{2}\leqq x\leqq a$ の部分で，深さ $x$ における水面と平行な切り口は半径 $\sqrt{a^2-x^2}$ の円である． \[ \text{残った水}=\pi\int_{\frac{a}{2}}^a(a^2-x^2)\,dx=\pi\left[a^2x-\frac{x^3}{3}\right]_{\frac{a}{2}}^a=\pi\left(\frac{2}{3}a^3-\frac{11}{24}a^3\right)=\frac{5}{24}\pi a^3 \] はじめの水の量は $\dfrac{2}{3}\pi a^3$ であるから，流れ出た水の量は \[ \frac{2}{3}\pi a^3-\frac{5}{24}\pi a^3=\frac{11}{24}\pi a^3 \]