x軸の上下にまたがる図形の回転体（B）

$0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}$ で $\cos x-1\leqq 0\leqq\sin x$ であり，2 曲線は原点で交わる．囲まれた部分は $x$ 軸の上下にまたがる（下図）． $x$ 軸より下の部分を折り返すと，$y=1-\cos x$ となる．$0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}$ で \[ \sin x-(1-\cos x)=\sin x+\cos x-1=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1 \] $\dfrac{\pi}{4}\leqq x+\dfrac{\pi}{4}\leqq\dfrac{3}{4}\pi$ であるから $\sqrt{2}\sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\geqq 1$ で，$1-\cos x\leqq\sin x$ である．よって，回転体は曲線 $y=\sin x$ による回転体に一致する． \[ V=\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2x\,dx=\pi\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi^2}{4} \]