x軸の上下にまたがる図形の回転体（A）

囲まれた部分は $x$ 軸の上下にまたがるから，$x$ 軸より下にある部分を $x$ 軸に関して折り返し，上側の部分と合わせた図形を回転させればよい（下図）． $\dfrac{\pi}{4}\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}$：$0\leqq\cos x\leqq\sin x$ で，外側 $\sin x$，内側 $\cos x$ $\dfrac{\pi}{2}\leqq x\leqq\dfrac{3}{4}\pi$：部分は $x$ 軸を含み，$\sin x\geqq|\cos x|$ であるから半径 $\sin x$ の円板 $\dfrac{3}{4}\pi\leqq x\leqq\pi$：$|\cos x|\geqq\sin x$ であるから半径 $|\cos x|$ の円板 $\pi\leqq x\leqq\dfrac{5}{4}\pi$：$\cos x\leqq\sin x\leqq 0$ で，外側 $|\cos x|$，内側 $|\sin x|$ よって \[ \frac{V}{\pi}=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}(\sin^2x-\cos^2x)\,dx+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3}{4}\pi}\sin^2x\,dx+\int_{\frac{3}{4}\pi}^{\pi}\cos^2x\,dx+\int_{\pi}^{\frac{5}{4}\pi}(\cos^2x-\sin^2x)\,dx \] $\sin^2x-\cos^2x=-\cos 2x$，$\sin^2x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}$，$\cos^2x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}$ を用いて各項を計算すると \[ \frac{1}{2}+\left(\frac{\pi}{8}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{\pi}{8}+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}+\frac{\pi}{4} \] したがって $V=\dfrac{3}{2}\pi+\dfrac{\pi^2}{4}$