x軸まわりの回転体（2曲線の間）（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: x軸まわりの回転体（2曲線の間）（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
2 曲線 $y=\sin x$，$y=\cos x\ \left(0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{4}\right)$ と $y$ 軸で囲まれた部分を，$x$ 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を求めよ．
$0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{4}$ で $\cos x\geqq\sin x\geqq 0$ であるから
\[ V=\pi\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\cos^2x-\sin^2x)\,dx=\pi\int_0^{\frac{\pi}{4}}\cos 2x\,dx=\pi\left[\frac{\sin 2x}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{4}}=\frac{\pi}{2} \]
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