円を底面とする立体の切り口と体積（B）

底面の中心を原点，直径 AB を $x$ 軸とし，底面上で立体のある側を $y$ 軸の正の向き，底面に垂直で上向きを $z$ 軸の正の向きにとる．点 $(x,\,0,\,0)\ (-1\leqq x\leqq 1)$ を通り $x$ 軸に垂直な平面による切り口は，底面上の辺の長さが $\sqrt{1-x^2}$ の直角三角形である．切断面は底面と $45^\circ$ の角をなすから，その高さは $\sqrt{1-x^2}\tan 45^\circ=\sqrt{1-x^2}$ である．よって，切り口は直角をはさむ 2 辺がともに $\sqrt{1-x^2}$ の直角二等辺三角形である（下図）．その面積は \[ S(x)=\frac{1}{2}\left(\sqrt{1-x^2}\right)^2=\frac{1-x^2}{2} \] よって \[ V=\int_{-1}^1\frac{1-x^2}{2}\,dx=\int_0^1(1-x^2)\,dx=\frac{2}{3} \]