r=f(θ) の曲線が囲む部分の面積（A）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: r=f(θ) の曲線が囲む部分の面積（B） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
極方程式 $r=1+\cos\theta\ (0\leqq\theta\leqq 2\pi)$ で表される曲線（カージオイド）で囲まれた部分の面積を求めよ．ただし，極方程式 $r=f(\theta)$ で表される曲線と 2 つの半直線 $\theta=\alpha$，$\theta=\beta$ で囲まれた部分の面積は $\displaystyle\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\{f(\theta)\}^2d\theta$ で与えられることを用いてよい．
\[ S=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}(1+\cos\theta)^2\,d\theta=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\left(1+2\cos\theta+\frac{1+\cos 2\theta}{2}\right)d\theta \]
\[ =\frac{1}{2}\left[\frac{3}{2}\theta+2\sin\theta+\frac{\sin 2\theta}{4}\right]_0^{2\pi}=\frac{1}{2}\cdot 3\pi=\frac{3}{2}\pi \]
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