逆関数のグラフと面積の関係（B）

$f'(x)=1+\cos x\geqq 0$ より $f(x)$ は増加関数で，$f(0)=0$，$f(\pi)=\pi$ である． $\displaystyle\int_0^{\pi}g(x)\,dx$ は，曲線 $y=f(x)$ と $y$ 軸および直線 $y=\pi$ で囲まれた部分の面積に等しい（$y=g(x)$ のグラフを直線 $y=x$ に関して折り返して考える．下図）． 1 辺 $\pi$ の正方形の面積から，$y=f(x)$ と $x$ 軸，直線 $x=\pi$ で囲まれた部分の面積を引いて \[ \int_0^{\pi}g(x)\,dx=\pi^2-\int_0^{\pi}(x+\sin x)\,dx=\pi^2-\left(\frac{\pi^2}{2}+2\right)=\frac{\pi^2}{2}-2 \]