逆関数のグラフと面積の関係（A）

$f'(x)=\dfrac{e^x}{e-1}>0$，$f''(x)=\dfrac{e^x}{e-1}>0$ であるから，$f(x)$ は増加関数で，$y=f(x)$ のグラフは下に凸である．$f(0)=0$，$f(1)=1$ であるから，$0\leqq x\leqq 1$ でグラフは 2 点 $(0,\,0)$，$(1,\,1)$ を結ぶ線分の下側にあり，$f(x)\leqq x$（等号は $x=0,\ 1$ のとき）である．$y=g(x)$ のグラフは，これと直線 $y=x$ に関して対称であるから直線 $y=x$ の上側にあり，2 曲線は 2 点 $(0,\,0)$，$(1,\,1)$ だけで交わる． $y=g(x)$ のグラフは $y=f(x)$ のグラフと直線 $y=x$ に関して対称であるから，求める面積は，直線 $y=x$ と曲線 $y=f(x)$ で囲まれた部分の面積の 2 倍である（下図）． \[ \int_0^1\{x-f(x)\}\,dx=\frac{1}{2}-\frac{1}{e-1}\Bigl[e^x-x\Bigr]_0^1=\frac{1}{2}-\frac{e-2}{e-1} \] よって $S=2\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{e-2}{e-1}\right)=1-\dfrac{2(e-2)}{e-1}=\dfrac{3-e}{e-1}$