指数関数と三角関数の積のグラフで囲まれた面積の総和（B）

$\{e^{-x}(\sin x-\cos x)\}'=-e^{-x}(\sin x-\cos x)+e^{-x}(\cos x+\sin x)=2e^{-x}\cos x$ であるから \[ F(x)=\frac{1}{2}e^{-x}(\sin x-\cos x) \] は $e^{-x}\cos x$ の原始関数である．$x_k=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ とおくと $\sin x_k=(-1)^k$，$\cos x_k=0$ より $F(x_k)=\dfrac{(-1)^k}{2}e^{-x_k}$ $0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}$ で $e^{-x}\cos x\geqq 0$ であるから $T_0=F\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-F(0)=\dfrac{1}{2}e^{-\frac{\pi}{2}}+\dfrac{1}{2}$ $n\geqq 1$ のとき，$x_{n-1}\leqq x\leqq x_n$ で $\cos x$ の符号は一定であるから \[ T_n=|F(x_n)-F(x_{n-1})|=\frac{1}{2}\left(e^{-x_n}+e^{-x_{n-1}}\right)=\frac{1+e^{-\pi}}{2}e^{-\frac{\pi}{2}}e^{-(n-1)\pi} \] $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}T_n$ は初項 $\dfrac{(1+e^{-\pi})e^{-\frac{\pi}{2}}}{2}$，公比 $e^{-\pi}$ の無限等比級数であり，$0<e^{-\pi}<1$ であるから収束する．よって \[ \sum_{n=0}^{\infty}T_n=\frac{1+e^{-\frac{\pi}{2}}}{2}+\frac{(1+e^{-\pi})e^{-\frac{\pi}{2}}}{2(1-e^{-\pi})}=\frac{1}{2}+\frac{e^{-\frac{\pi}{2}}}{2}\left(1+\frac{e^{\pi}+1}{e^{\pi}-1}\right)=\frac{1}{2}+\frac{e^{\frac{\pi}{2}}}{e^{\pi}-1} \]