指数関数と三角関数の積のグラフで囲まれた面積の総和（A）

(1) $\{-e^{-x}(\sin x+\cos x)\}'=e^{-x}(\sin x+\cos x)-e^{-x}(\cos x-\sin x)=2e^{-x}\sin x$ であるから \[ \int e^{-x}\sin x\,dx=-\frac{1}{2}e^{-x}(\sin x+\cos x)+C \] $(n-1)\pi\leqq x\leqq n\pi$ で $\sin x$ の符号は一定であるから \[ S_n=\left|\Bigl[-\frac{1}{2}e^{-x}(\sin x+\cos x)\Bigr]_{(n-1)\pi}^{n\pi}\right|=\frac{1}{2}\left|-e^{-n\pi}\cos n\pi+e^{-(n-1)\pi}\cos(n-1)\pi\right| \] $\cos n\pi=(-1)^n$，$\cos(n-1)\pi=(-1)^{n-1}$ より \[ S_n=\frac{1}{2}\left(e^{-n\pi}+e^{-(n-1)\pi}\right)=\frac{1+e^{-\pi}}{2}e^{-(n-1)\pi} \] (2) $\{S_n\}$ は初項 $\dfrac{1+e^{-\pi}}{2}$，公比 $e^{-\pi}\ (0<e^{-\pi}<1)$ の等比数列であるから \[ \sum_{n=1}^{\infty}S_n=\frac{1+e^{-\pi}}{2(1-e^{-\pi})}=\frac{e^{\pi}+1}{2(e^{\pi}-1)} \]