接線の位置を動かしたときの面積の最小（B）

接線 $\ell$ は $y=e^t(x-t+1)$．曲線は下に凸であるから，$\ell$ は曲線の下側にある． \[ S(t)=\int_0^1\{e^x-e^t(x-t+1)\}\,dx=(e-1)-e^t\left(\frac{1}{2}-t+1\right)=e-1-e^t\left(\frac{3}{2}-t\right) \] \[ S'(t)=-e^t\left(\frac{3}{2}-t\right)+e^t=e^t\left(t-\frac{1}{2}\right) \] $S'(t)=0$ とすると $t=\dfrac{1}{2}$ であり，$0\leqq t\leqq 1$ における $S(t)$ の増減表は次のようになる． \[ \begin{array}{c|ccccc} t & 0 & \cdots & \dfrac{1}{2} & \cdots & 1 \\ \hline S'(t) & & - & 0 & + & \\ \hline S(t) & & \searrow & \text{極小} & \nearrow & \end{array} \] よって，$S(t)$ は $t=\dfrac{1}{2}$ で最小となり，最小値は $S\left(\dfrac{1}{2}\right)=e-1-\sqrt{e}$