接線の位置を動かしたときの面積の最小（A）

接線 $\ell$ は $y=\dfrac{x}{t}+\log t-1$．曲線は上に凸であるから，$\ell$ は曲線の上側にある（下図）． \[ S(t)=\int_1^e\left(\frac{x}{t}+\log t-1-\log x\right)dx=\frac{e^2-1}{2t}+(e-1)(\log t-1)-1 \] （$\displaystyle\int_1^e\log x\,dx=1$ を用いた．） \[ S'(t)=-\frac{e^2-1}{2t^2}+\frac{e-1}{t}=\frac{(e-1)\{2t-(e+1)\}}{2t^2} \] $S'(t)=0$ とすると $t=\dfrac{e+1}{2}$ であり，$1<\dfrac{e+1}{2}<e$ である．$1\leqq t\leqq e$ における $S(t)$ の増減表は次のようになる． \[ \begin{array}{c|ccccc} t & 1 & \cdots & \dfrac{e+1}{2} & \cdots & e \\ \hline S'(t) & & - & 0 & + & \\ \hline S(t) & & \searrow & \text{極小} & \nearrow & \end{array} \] よって，$S(t)$ は $t=\dfrac{e+1}{2}$ で最小となる． したがって，$t=\dfrac{e+1}{2}$ のとき最小値 $S\left(\dfrac{e+1}{2}\right)=(e-1)+(e-1)\left(\log\dfrac{e+1}{2}-1\right)-1=(e-1)\log\dfrac{e+1}{2}-1$