面積を表す式の極限を求める（B）

$e^x=e^{-x}$ とすると $e^{2x}=1$ より $x=0$ であるから，2 曲線は $x=0$ で交わる．また，$0\leqq x\leqq t$ では $e^x\geqq 1\geqq e^{-x}$ であるから \[ S(t)=\int_0^t(e^x-e^{-x})\,dx=e^t+e^{-t}-2 \] ここで，$e^t+e^{-t}-2=\left(e^{\frac{t}{2}}-e^{-\frac{t}{2}}\right)^2$ であるから \[ \frac{S(t)}{t^2}=\left(\frac{e^{\frac{t}{2}}-e^{-\frac{t}{2}}}{t}\right)^2 \] また \[ \frac{e^{\frac{t}{2}}-e^{-\frac{t}{2}}}{t}=e^{-\frac{t}{2}}\cdot\frac{e^t-1}{t} \] $t\to +0$ のとき $e^{-\frac{t}{2}}\to 1$，$\dfrac{e^t-1}{t}\to 1$ であるから \[ \lim_{t\to +0}\frac{S(t)}{t^2}=1^2=1 \]