面積を表す式の極限を求める（A）

2 曲線の交点は $x^n(1-x)=0$ より $x=0,\ 1$．$0\leqq x\leqq 1$ で $x^n\geqq x^{n+1}$ であるから \[ S_n=\int_0^1(x^n-x^{n+1})\,dx=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}=\frac{1}{(n+1)(n+2)} \] よって \[ \lim_{n\to\infty}n^2S_n=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{(n+1)(n+2)}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)}=1 \]