直線で面積を2等分する（B）

全体の面積は $\displaystyle\int_0^4\sqrt{x}\,dx=\left[\frac{2}{3}x\sqrt{x}\right]_0^4=\frac{16}{3}$ 直線 $y=mx$ と曲線 $y=\sqrt{x}$ の交点の $x$ 座標は $\dfrac{1}{m^2}$ である． [1] $\dfrac{1}{m^2}\leqq 4$ すなわち $m\geqq\dfrac{1}{2}$ のとき，直線と曲線で囲まれた部分の面積は \[ \int_0^{\frac{1}{m^2}}(\sqrt{x}-mx)\,dx=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{m^3}-\frac{m}{2}\cdot\frac{1}{m^4}=\frac{1}{6m^3} \] これが $\dfrac{8}{3}$ に等しいとすると $m^3=\dfrac{1}{16}$ であるが，$\dfrac{1}{16}<\left(\dfrac{1}{2}\right)^3$ より $m<\dfrac{1}{2}$ となり，$m\geqq\dfrac{1}{2}$ を満たさないから不適． [2] $0<m<\dfrac{1}{2}$ のとき，直線は $x=4$ で曲線の下側にあり，直線の下側の部分は底辺 $4$，高さ $4m$ の三角形である．その面積 $8m$ が $\dfrac{8}{3}$ に等しいとして $m=\dfrac{1}{3}$．これは $0<m<\dfrac{1}{2}$ を満たす． よって $m=\dfrac{1}{3}$