座標軸を45°回転して囲まれた部分の面積を求める（B）

座標軸を $45^\circ$ 回転させた座標 $u=\dfrac{x+y}{\sqrt{2}}$，$v=\dfrac{-x+y}{\sqrt{2}}$ を用いる．点 $(x,\,y)$ を表す複素数を $z=x+yi$ とすると，$u+vi=\left\{\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right\}z$ であるから，点 $(u,\,v)$ は点 $(x,\,y)$ を原点のまわりに $-\dfrac{\pi}{4}$ だけ回転した点であり，図形の面積は変わらない． \[ x^2+y^2=u^2+v^2,\qquad xy=\frac{(x+y)^2-(x-y)^2}{4}=\frac{u^2-v^2}{2} \] であるから，曲線の方程式は \[ u^2+v^2-\frac{u^2-v^2}{2}=3\quad\text{すなわち}\quad\frac{u^2}{6}+\frac{v^2}{2}=1 \] これは長軸の半分 $\sqrt{6}$，短軸の半分 $\sqrt{2}$ の楕円であるから，面積は \[ \pi\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{3}\,\pi \] （楕円 $\dfrac{u^2}{a^2}+\dfrac{v^2}{b^2}=1$ の面積 $\pi ab$ は，$4\displaystyle\int_0^a\frac{b}{a}\sqrt{a^2-u^2}\,du$ から得られる．）