座標軸を45°回転して囲まれた部分の面積を求める（A）

座標軸を原点のまわりに $45^\circ$ 回転させた座標 $(u,\,v)$ を \[ u=\frac{x+y}{\sqrt{2}},\qquad v=\frac{-x+y}{\sqrt{2}} \] で定める．点 $(x,\,y)$ を表す複素数を $z=x+yi$ とすると \[ u+vi=\frac{(x+y)+(-x+y)i}{\sqrt{2}}=\left\{\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right\}z \] であるから，点 $(u,\,v)$ は点 $(x,\,y)$ を原点のまわりに $-\dfrac{\pi}{4}$ だけ回転した点である．回転によって図形の面積は変わらないから，$uv$ 平面で考えた図形の面積を求めればよい． $x+y=\sqrt{2}u$，$(x-y)^2=2v^2$ であるから，曲線は $2v^2=4\sqrt{2}u$ すなわち $u=\dfrac{v^2}{2\sqrt{2}}$（放物線），直線は $u=2\sqrt{2}$ となる． 交点は $v^2=8$ より $v=\pm 2\sqrt{2}$ であり，$-2\sqrt{2}\leqq v\leqq 2\sqrt{2}$ では $\dfrac{v^2}{2\sqrt{2}}\leqq 2\sqrt{2}$ であるから \[ S=\int_{-2\sqrt{2}}^{2\sqrt{2}}\left(2\sqrt{2}-\frac{v^2}{2\sqrt{2}}\right)dv=2\left[2\sqrt{2}v-\frac{v^3}{6\sqrt{2}}\right]_0^{2\sqrt{2}}=2\left(8-\frac{16\sqrt{2}}{6\sqrt{2}}\right)=\frac{32}{3} \]