対称性を利用して媒介変数表示の曲線で囲まれた面積を求める（B）

$t=0,\ \pi$ のとき点は原点にあり，曲線は閉じている．$y=\sin t\geqq 0$ で，$t$ を $\pi-t$ に変えると $x\to -x$，$y\to y$ となるから，曲線は $y$ 軸に関して対称である（下図）． $0\leqq t\leqq\dfrac{\pi}{2}$ の部分は $x\geqq 0$ にあり，$y$ は $0$ から $1$ まで増加する．$dy=\cos t\,dt$ であるから，この部分と $y$ 軸で囲まれた面積は \[ \int_0^1x\,dy=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin 2t\cos t\,dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}}2\sin t\cos^2t\,dt=\left[-\frac{2}{3}\cos^3t\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{2}{3} \] 対称性から，求める面積は $2\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}$