対称性を利用して媒介変数表示の曲線で囲まれた面積を求める（A）

$t$ を $2\pi-t$ におき換えると，$x$ は変わらず，$y$ は $-y$ になる．また，$t$ を $\pi-t$ におき換えると，$x$ は $-x$ になり，$y$ は変わらない．よって，曲線は $x$ 軸，$y$ 軸に関して対称であるから，第 1 象限の部分の面積の 4 倍を求める． $0\leqq t\leqq\dfrac{\pi}{2}$ のとき，$x$ は $1$ から $0$ まで減少し，$y\geqq 0$．$\dfrac{dx}{dt}=-3\cos^2t\sin t$ であるから \[ \int_0^1y\,dx=\int_{\frac{\pi}{2}}^0\sin^3t\cdot(-3\cos^2t\sin t)\,dt=3\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^4t\cos^2t\,dt=\frac{3\pi}{32} \] よって $S=4\cdot\dfrac{3\pi}{32}=\dfrac{3}{8}\pi$ （参考：$\sin^4t\cos^2t=\sin^2t\cdot\dfrac{\sin^22t}{4}$ と変形し，半角の公式をくり返して $\dfrac{\pi}{32}$ が得られる．）