媒介変数で表された曲線で囲まれた面積（B）

$t$ を $2\pi-t$ におき換えると，$x$ は変わらず，$y$ は $-y$ になるから，曲線は $x$ 軸に関して対称である．また，$t$ を $\pi-t$ におき換えると，$x$ は $-x$ に，$y$ は $-y$ になるから，曲線は原点に関して対称である．よって，曲線は $y$ 軸に関しても対称であり，8 の字形である（下図）． $0\leqq t\leqq\dfrac{\pi}{2}$ の部分は，$x$ が $1$ から $0$ まで減少し，$y\geqq 0$ であるから，第 1 象限にある．$dx=-\sin t\,dt$ であるから，この部分と $x$ 軸で囲まれた面積は \[ \int_0^1y\,dx=\int_{\frac{\pi}{2}}^0\sin 2t\cdot(-\sin t)\,dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}}2\sin^2t\cos t\,dt=\left[\frac{2}{3}\sin^3t\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{2}{3} \] 対称性から，求める面積は $4\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{3}$