媒介変数で表された曲線で囲まれた面積（A）

$\dfrac{dx}{dt}=1-\cos t\geqq 0$ で，$t$ が $0$ から $2\pi$ まで増加すると $x$ は $0$ から $2\pi$ まで増加する．$y\geqq 0$ であるから \[ S=\int_0^{2\pi}y\,dx=\int_0^{2\pi}(1-\cos t)(1-\cos t)\,dt=\int_0^{2\pi}(1-2\cos t+\cos^2t)\,dt \] \[ =\int_0^{2\pi}\left(\frac{3}{2}-2\cos t+\frac{\cos 2t}{2}\right)dt=\left[\frac{3}{2}t-2\sin t+\frac{\sin 2t}{4}\right]_0^{2\pi}=3\pi \]