y について解いて曲線で囲まれた面積を求める（B）

方程式は $y$ を $-y$ におき換えても変わらないから，曲線は $x$ 軸に関して対称である．$y^2=x(x-1)^2$ より $y=\pm(1-x)\sqrt{x}$ であり，$0\leqq x\leqq 1$ では $(1-x)\sqrt{x}\geqq 0$ で，等号が成り立つのは $x=0,\ 1$ のときである．よって，$0\leqq x\leqq 1$ の部分は 2 点 $(0,\,0)$，$(1,\,0)$ を結ぶ閉じた曲線をつくり（下図），その上半分は $y=(1-x)\sqrt{x}$ であるから \[ S=2\int_0^1(1-x)\sqrt{x}\,dx=2\int_0^1\left(x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{3}{2}}\right)dx=2\left(\frac{2}{3}-\frac{2}{5}\right)=\frac{8}{15} \]